El conjunto de Cantor: cómo quitarlo todo y que siga quedando infinito

Imagina un videojuego muy sencillo. En la pantalla hay un segmento, del 0 al 1, y tu nave solo sabe hacer una cosa: disparar al tercio del medio de cada trozo que encuentre. Destruyes un trozo y quedan dos. Disparas al centro de cada uno y quedan cuatro. Y así, nivel tras nivel, sin llegar nunca a la pantalla final.

La pregunta es qué queda cuando el juego «termina». La intuición dice que nada, o casi nada. La respuesta correcta es bastante más rara: lo has destruido todo y, a la vez, quedan tantos puntos como había al principio.

Ese resto imposible tiene nombre. Se llama conjunto de Cantor, y es uno de los objetos más sencillos de construir y más difíciles de creer de todas las matemáticas.

¿Cómo lo construimos?

Vamos despacio, porque la construcción es lo único que hay que aprenderse.

1. Partimos del intervalo [0, 1].
2. Quitamos el tercio central, el que va de 1/3 a 2/3, pero dejando sus dos extremos. Quedan dos trozos: [0, 1/3] y [2/3, 1].
3. A cada trozo le quitamos su tercio central, de la misma manera. Quedan cuatro trozos de longitud 1/9.
4. Repetimos con cada trozo que quede. Repetimos y repetimos y repetimos…

En el paso número n hay 2ⁿ trozos y cada uno mide 1/3ⁿ. Cada vez hay más trozos y cada vez son más pequeños.

El conjunto de Cantor es lo que sobrevive a todos los pasos: los puntos que no caen nunca, por muchas veces que disparemos.

¿Cuánto hemos quitado?

Hagamos las cuentas, que son facilonas. En el primer paso quitamos un trozo de longitud 1/3. En el segundo, dos trozos de 1/9. En el tercero, cuatro de 1/27. Cada vez quitamos el doble de trozos, pero cada uno mide la tercera parte que los anteriores.

1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + … = 1

Es una serie geométrica de razón 2/3 y suma exactamente 1. Hemos quitado toda la longitud del segmento.

Se puede ver también al revés. En cada paso sobreviven dos tercios de lo que había, así que tras n pasos queda (2/3)ⁿ, que se va a cero. Tras 6 pasos ya hemos destruido el 91 %. Tras 20, el 99,97 %.

Así que lo que queda, sea lo que sea, no ocupa nada. Los matemáticos dicen que tiene medida cero.

Y entonces, ¿qué queda?

Lo primero que uno piensa es que quedan los extremos de los trozos: el 0, el 1, el 1/3, el 2/3, el 1/9… Y es verdad. Ninguno cae nunca, porque siempre quitamos el interior del tercio central y dejamos los bordes. Ya tenemos infinitos puntos.

Pero si solo quedaran los extremos, el conjunto no tendría tanto misterio. Lo sorprendente es que quedan muchísimos más.

El ejemplo clásico es 1/4. No es extremo de ningún trozo y, sin embargo, sobrevive a todos los disparos. Primero está en [0, 1/3], a tres cuartos del trozo. Después en [2/9, 1/3], a un cuarto. Después en [2/9, 7/27], otra vez a tres cuartos. Y así siempre, alternando entre un cuarto y tres cuartos, sin pisar jamás el tercio central.

La clave está en la base 3

Para entender quién sobrevive conviene cambiar de idioma. Nosotros escribimos los números en base 10, pero este conjunto está hecho de tercios, así que le sienta mejor la base 3, donde solo existen las cifras 0, 1 y 2.

En base 3, la primera cifra después de la coma dice en qué tercio del segmento está el número: 0 si está en el primero, 1 si está en el del medio y 2 si está en el último. La segunda cifra dice lo mismo dentro de ese tercio, y así sucesivamente.

O sea, que cada disparo se lleva justo los números que tienen un 1 en la cifra correspondiente. El conjunto de Cantor está formado por los números entre 0 y 1 que se pueden escribir en base 3 usando solo ceros y doses.

Y ahí está nuestro 1/4:

1/4 = 0,020202…₍₃₎ = 2/9 + 2/81 + 2/729 + …

Ni un solo 1. Por eso no cae.

¿Y los extremos, como 1/3, que en base 3 se escribe 0,1? Tienen truco. Igual que en base 10 el 1 también es 0,999…, en base 3 el 1/3 también es 0,0222… Basta con que exista una forma de escribir el número sin unos.

Tantos puntos como al principio

Y ahora la pregunta del millón: ¿cuántos puntos quedan?

Coge un punto del conjunto de Cantor, escrito con ceros y doses, y cambia cada 2 por un 1. Te queda una ristra de ceros y unos, que puedes leer como un número en base 2. Por ejemplo, nuestro 1/4, que era 0,0202… en base 3, se convierte en 0,0101… en base 2, que es 1/3.

Con este cambio se obtienen todos los números entre 0 y 1, porque cualquier número tiene su escritura en base 2. Es decir, en el conjunto de Cantor hay, como mínimo, tantos puntos como en el segmento entero. Y como es un trozo del segmento, tampoco puede haber más.

Es el mismo infinito que el de todos los números reales, ese que no se puede poner en una lista. Un infinito mayor que el de los números naturales o el de las fracciones.

Hemos quitado toda la longitud y seguimos teniendo la misma cantidad de puntos. Longitud y cantidad de puntos resultan ser dos formas distintas de medir, y aquí no se ponen de acuerdo.

Y además, es un fractal

Mira solo la mitad izquierda del conjunto, la que cae en [0, 1/3], y amplíala tres veces. Obtienes exactamente el conjunto entero. Lo mismo pasa con la mitad derecha y con cualquier trocito, por pequeño que sea.

Esa propiedad se llama autosemejanza y es la marca de la casa de los fractales. También explica su dimensión, que no es un número entero.

Un segmento tiene dimensión 1: si lo amplías por 3, caben 3 copias del original. Un cuadrado tiene dimensión 2: caben 9, que es 3². El conjunto de Cantor, al ampliarlo por 3, da 2 copias de sí mismo. Su dimensión d tiene que cumplir 3^d = 2:

d = log 2 / log 3 ≈ 0,63

Más que un puñado de puntos sueltos, que tendrían dimensión 0, y menos que una línea.

Un poco de historia

El conjunto lleva el nombre de Georg Cantor, que lo presentó en 1883 mientras ponía orden en la idea de infinito. No fue el primero en toparse con algo así: el matemático Henry J. S. Smith había descrito conjuntos parecidos unos años antes, hacia 1875.

Durante mucho tiempo se consideró una rareza, un contraejemplo de esos que sirven para fastidiar teoremas. Hoy aparece por todas partes: en sistemas dinámicos, en teoría de la medida y en cualquier curso de topología.

¿Hace falta saber todo esto para disfrutar del juego? Evidentemente no. Basta con quedarse con la idea: se puede quitar todo y que siga quedando un infinito entero.

Y si quieres verlo en movimiento, en el vídeo la nave hace todo el trabajo.

En 2017 ya le dedicamos un vídeo: ¿Cuántos puntos tiene el conjunto de Cantor? Y si te quedas con ganas de infinitos, en ¿Cuántos infinitos existen? El teorema de Cantor contamos por qué hay infinitos más grandes que otros.

Y la camiseta

La partida también está en una camiseta: un matamarcianos de los de 1978 cuyos invasores son las filas del conjunto de Cantor. En el marcador, «Destruido: 100 %» y «Quedan: ∞». Las dos cosas son verdad.

Ver la camiseta

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