Espacios Vectoriales ↗️ Ejemplos

¿Qué tienen en común estos cuatro conjuntos?

1️⃣ Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Donde homogéneo significa que los términos independientes son nulos.

2️⃣ Los vectores libres del espacio euclídeo tridimenisonal, que pueden indentificarse, como ya sabemos, con puntos de dicho espacio.

3️⃣ Las matrices con coeficientes en un cuerpo K de tres filas y cuatro columnas o de dimensiones cualesquiera.

4️⃣Los polinomios con coeficientes en un cuerpo.

La respuesta es que todos ellos son ESPACIOS VECTORIALES.

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Recordemos que un espacio vectorial es un conjunto de elementos a los que llamamos vectores, dotado de una operación, que lo convierte en un GRUPO ABELIANO.

También tenemos un conjunto de números a los que llamamos escalares. Este conjunto tiene dos operaciones que lo convierten en un CUERPO.

Ejemplos de cuerpo, son los números racionales o los números reales o los complejos con la suma y multiplicación usuales.

Además de estos conjuntos con sus operaciones tenemos una operación que asocia a un número y un vector otro vector, es decir si tenemos un escalar lambda y un vector v podemos multiplicar el escalar por el vector y obtener otro vector.

Esta operación la denotamos comúnmente con un punto, pero tenemos que estar atentos, pues el punto también denota la multiplicación del cuerpo K y estas dos operaciones son evidentemente distintas.

Esta nueva operación está sujeta a 4 axiomas:

En primer lugar se verifica la propiedad distributiva respecto de la suma de vectores, es decir, si tenemos que multiplicar un número por la suma de dos vectores, también podemos calcularlo multiplicando el escalar por cada vector y después sumando y el resultado es el mismo.

También se verifica la propiedad distributiva respecto de la suma de escalares. Si queremos multiplicar la suma de dos escalares por un vector también podemos calcularlo operando cada escalar con el vector y sumando los vectores resultantes.

El tercer axioma se conoce como la propiedad pseudoasociativa. Si tenemos un producto de dos escalares operado con un vector, podemos calcularlo desplazando el paréntesis y operando primero un escalar por el vector y después el segundo escalar por el vector resultante.

¿Pero por qué llamarla pseudoasocitiva? ¿esto no es la propiedad asociativa?

Realmente no. Recordad que todos los puntos no denotan la misma operación.

En la izquierda tenemos un producto de dos escalares con la multiplicación del cuerpo, cuyo resultado es un escalar. Y este escalar lo operamos con el vector obteniendo un vector.

En la derecha tenemos primero que hacer la operación de un escalar con un vector cuyo resultado es un vector, y seguidamente operarlo con el segundo escalar obteniendo de nuevo un vector.

Lo que dice la propiedad pseudoasociativa es que estas dos formas de operar dan el mismo vector.

El último axioma se denomina PROPIEDAD MODULAR, y dice que si tenemos que operar 1 con un vector, donde 1 es el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo, el resultado es el mismo vector.

Fijaos que de nuevo esta operación NO es la multiplicación del cuerpo. Lo que dice esta propiedad es que el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo también es elemento neutro para la operación de escalares por vectores.

En el vídeo vemos como se realizan estas operaciones con los ejemplos que enumerábamos en el primer párrafo.

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