La fórmula de Euler

En matemáticas hay resultados valiosos fruto de sencillas y elegantes demostraciones. Uno de nuestro preferidos es la fórmula de Euler para poliedros convexos. Nos hemos propuesto demostrar este teorema usando pocas palabras y unos cuantos GIFs.


Si consideramos un poliedro, una figura formada por polígonos que encierran una región del espacio. Y además le exigimos que sea convexo, que no tenga recovecos ni agujeros, y contamos sus vértices (V), le restamos sus aristas (A) y le sumamos sus caras (C), ¡SIEMPRE SALE 2!

Pese al nombre que lleva la fórmula, no fue Euler el primero en demostrarla. Su historia se extiende a lo largo de 200 años y en ella intervienen gigantes como Descartes, Legendre, Cauchy (y Euler). Seguimos la de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y la visualizamos con el cubo:

En primer lugar, eliminamos una cara del poliedro. Situamos una bombilla encima del hueco y proyectamos su imagen sobre un plano, obtenemos una figura plana con el mismo número de vértices, aristas y caras que el poliedro sin la cara eliminada.

Razonamos sobre esta figura plana haciendo cambios que no afectan al total V-A+C. Trazamos una diagonal sobre toda cara que no sea un triángulo. Cada arista que añadimos (que resta) divide una cara en dos, apareciendo una nueva cara (que suma). ¡V-A+C no ha cambiado!

A continuación, eliminamos todo triángulo que tenga exactamente una arista externa. De este modo eliminamos una arista (que resta) y una cara (que suma) por cada triángulo eliminado, y de nuevo el número V-A+C no cambia.

Finalmente eliminamos los triángulos con DOS aristas externas. En este caso se eliminan dos aristas (que restan) pero también un vértice (que suma) y una cara (que suma) por cada triángulo. Nuevamente el número V-A+C no varía.

Repitiendo este proceso llegaremos a un único triángulo. Si echamos la cuenta tendremos 3 vértices, 3 aristas y 1 cara. 3-3+1=1. Y recordemos que al principio de la demostración le habíamos quitado una cara al poliedro, así que tenemos V-A+C=2. ¡Como afirmaba Euler!

En nuestro canal de youtube podéis encontrar un vídeo con esta demostración ampliada:

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2 Comments

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Alfredo Durandreply
28 noviembre, 2018 at 6:22 pm

Leonhard Euler, ha sido para mi uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, y su característica inalienable en su desempeño fue la elegante capacidad de síntesis, bellamente presentada en sus ecuaciones!!!
Atte. Alfredo Durand El Cuervo

Archimedes’ Tubreply
3 diciembre, 2018 at 11:21 am
– In reply to: Alfredo Durand

Muchísimas gracias por tu comentario. No podemos estar más de acuerdo.
Un saludo.

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