¿Se puede demostrar el teorema de Pitágoras sin hacer ni una cuenta? Sí: basta con cortar los cuadrados de los catetos en piezas y comprobar que llenan exactamente el cuadrado de la hipotenusa, sin que sobre ni falte nada.
Eso es nuestro puzle pitagórico. Hace casi diez años lo animamos por primera vez y ahora lo hemos rehecho de arriba abajo. Aquí tienes el vídeo, la explicación de por qué funciona y un recortable para imprimir y jugar en casa o en clase.
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El teorema en una frase
En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma área que los dos cuadrados construidos sobre los catetos juntos: c² = a² + b².
Casi siempre lo aprendemos como una fórmula para calcular lados. Pero lo que dice es una afirmación sobre áreas, y las áreas se pueden recortar.
El truco: la altura
Traza la altura del triángulo desde el ángulo recto y prolóngala hacia abajo. Parte el cuadrado grande en dos rectángulos, y aquí está la magia: uno mide exactamente a² y el otro exactamente b².
¿Por qué? La altura divide el triángulo en dos triángulos más pequeños que tienen la misma forma que el grande (son semejantes). De esa semejanza sale que el trozo de hipotenusa que queda junto al cateto a mide a²/c. Así que el rectángulo de ese lado mide a²/c de ancho por c de alto: su área es justo a². Con el otro lado pasa lo mismo y sale b².
Esta idea no es nuestra: es la que usó Euclides en la proposición 47 del primer libro de sus Elementos, hace más de 2.000 años. Lo que hace el puzle es enseñarla con tijeras.
Ocho piezas y cuatro movimientos
En el vídeo usamos el triángulo de lados 3, 4 y 5, el más famoso de todos. El cuadrado azul (el del cateto a) se corta en cinco piezas y el amarillo (el del cateto b) en tres. Cada grupo rellena su rectángulo con muy pocos movimientos:
- Azules. Tres piezas se deslizan hasta apoyarse en la hipotenusa. Después todo el bloque azul gira un cuarto de vuelta alrededor del vértice y una última pieza baja hasta el fondo.
- Amarillas. El triángulo amarillo grande es una copia exacta del triángulo de partida: se desliza y se coloca justo encima. Luego el bloque gira un cuarto de vuelta hacia el otro lado y la última pieza baja.
Ninguna pieza se estira ni se da la vuelta: solo se desliza y gira. Y los cortes son exactos. Para la animación los hemos comprobado con el ordenador: no queda ningún hueco ni ningún solape.
Descárgate el recortable
Hemos preparado un PDF gratuito de tres páginas: el tablero, las piezas para recortar y la solución (¡no la mires antes!). Imprímelo a tamaño real, mejor en cartulina, y reta a quien quieras a llenar el cuadrado grande.
Ideas para clase
- Antes de dar la solución, pregunta: ¿qué piezas crees que van juntas? ¿Hay alguna igual a otra cosa que ya esté en el dibujo?
- Mide con una regla los dos rectángulos del cuadrado grande y calcula sus áreas: deben salir 9 y 16 unidades al cuadrado, como los cuadrados de 3 y de 4.
- Para los mayores: ¿funcionarían estos mismos cortes con cualquier triángulo rectángulo? Dibuja otro triángulo, construye los mismos cortes y compruébalo.
Más puzles pitagóricos
En 2017 hicimos una serie de cuatro puzles con otras formas de recortar los cuadrados: Puzle pitagórico I, II, III y IV.
¿Conoces otra demostración de Pitágoras que te guste? Cuéntanosla en los comentarios.
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