El problema de la duplicación del cubo

En el año 429 a.C. una peste devastadora asola Atenas. No distingue entre ciudadanos libres o esclavos, entre atenienses o extranjeros. Tanto es así que se cobra como víctima a Pericles, su gobernador.Los atenienses, desesperados, acuden al oráculo de Delfos en busca de un método para parar la terrible epidemia. Y lo creáis o no, el oráculo les responde con un problema matemático.

La muerte de Pericles
La muerte de Pericles

Imaginaos la escena, los pobres y abatidos atenienses llevan días esperando en las puertas del templo, la Pitia por fin consigue inspiración, entra en trance y les sale con esto:

“El cruel azote de la peste terminará
con la fórmula que mi altar duplicará.”

El altar del tempo de Delfos tenía forma de cubo. La cosa no parece complicada ¿verdad? Spoiler: No lo resolvieron.

El problema de la duplicación del cubo perturbó durante mucho tiempo a los geómetras griegos. Pensaban que como con regla y compás  calculaban raíces cuadradas, con estos mismos instrumentos podrían encontrar el valor de la raíz cúbica de dos. Spoiler: fracasaron.

Este problema se enmarca dentro de los tres problemas clásicos de geometría que cautivaron el interés de los geómetras griegos primero, y de un buen número de matemáticos a lo largo de los siglos siguientes. Seguro que los conocéis, pero os los recordamos.

La cuadratura del círculo. El más famoso, tanto que saltó al lenguaje coloquial y en él sigue. Su enunciado dice: Dado un círculo de radio r, construir usando sólo regla y compás el lado de un cuadrado cuya área sea igual al área del círculo dado.

La cuadratura del círculo
La cuadratura del círculo

La trisección de un ángulo, que parece el de solución más sencilla, pero que tampoco la tiene: Usando sólo regla y compás, dividir un ángulo arbitrario en tres ángulos iguales.

Trisección de un ángulo
Trisección de un ángulo

Y el que nos ocupa, la duplicación del cubo, dado un cubo de arista a, construir usando sólo una regla y un compás, la arista b de otro cubo cuyo volumen sea el doble del volumen original.

La duplicación del cubo
La duplicación del cubo

Volvamos a la antigua Grecia. Tras la profecía del oráculo, los artesanos atenienses se pusieron manos a la obra y duplicaron la arista del cubo y observaron, con perplejidad, que el volumen del cubo era 8 veces mayor. Llamaron a los matemáticos, pero estos tampoco consiguieron resolver el problema. La peste mató a un cuarto de la población, pero remitió. No así el problema délico, que trajo a los matemáticos de cabeza unos 2200 años más.

Vamos hacer un repaso rápido de matemáticos que intentaron resolverlo en la antigüedad. Muchos encontraron una solución, pero tuvieron que utilizar otras técnicas o instrumentos:

Hipócrates de Quios, realizó en primer avance de calado, demostró que el problema se podía reducir a encontrar dos medias proporcionales.

Arquitas de Tarento, uno de los últimos pitagóricos, encontró una solución, no con regla y compás sino como intersección de superficies tridimensionales.

Menecmo, tratando de resolver el problema descubrió las cónicas. El problema lo redujo, al igual que Hipócrates, a encontrar dos medidas proporcionales.

Eudoxo de Cnido, uno de los grandes matemáticos de la época clásica, siguió la tradición pitagórica de la exclusión de los inconmensurables, pero se las ingenió para que la geometría no se tambalease, para ello elaboró la teoría de las proporciones. Su solución al problema se perdió, sabemos de su existencia por Eratóstenes.

Eratóstenes de Cirene, el de la criba y la medida del radio de la Tierra. Construyó un aparato mecánico, llamado mesolabio que permitía calcular las medias proporcionales de Hipócrates. El principio de este artilugio se basaba en el uso repetido del Teorema de Tales.

Nicomedes que además de crear la concoide (curva que permite resolver el problema de las dos medias proporcionales), le dio por criticar a Eratóstenes, y mal, porque como sabéis es nuestro ojito derecho.

Podríamos hacer la lista anterior mucho más larga, pero no es nuestra intención perder por el camino al lector. Así que de un salto llegamos al siglo XVII y nos encontramos a Descartes probando suerte con el problema. Después fue Gauss, este sí que es nuestro ojito derecho, el que lo intentó y consiguió ciertos avances. Pero no fue hasta el siglo XIX cuando el matemático francés Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848) basándose en los trabajos de Descartes, Gauss y Abel demostró la imposibilidad de resolver el problema de la duplicación del cubo usando solamente regla y compás.

Supongo que os estaréis preguntando por qué un tipo que resolvió un problema, bueno, dos, casi tres problemas del milenio, o de los milenios, porque llevaban más de dos esperando solución no se hizo rico y súper famoso.
Por un lado, le tocó vivir en un siglo plagado de lumbreras. Son contemporáneos suyos Niels Abel (1802-1829), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Paolo Ruffini (1765-1822), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Augustin Louis Cauchy (1789-1857). E incluso el matemático-leyenda Évariste Galois (1811-1832) también compartió siglo con Pierre-Laurent Wantzel.
Por otro lado, no tenía formación reglada como matemático, era ingeniero y encima, por si esto fuera poco, ¡los artículos que publicaba eran cortos!

Pero dejémonos de cotilleos y volvamos a nuestro problema. Para zanjar el asunto de la duplicación del cubo necesitamos un teorema, que es este:

Teorema de Wantzel

Si r es un número construible* debe ser raíz de un polinomio irreducible de grado 2 elevado a n.
(*) Un número construible es aquel que se corresponde con un segmento que se puede construir con regla y compás.

Este teorema demuestra la imposibilidad de duplicar el cubo o trisecar un ángulo arbitrario. En el primer caso, para un cubo de arista la unidad, la solución sería construir un cubo de arista ³√2, que es precisamente raíz del polinomio x³ – 2 = 0. Este polinomio es irreducible pero no de grado 2 elevado a n.
Del mismo modo trisecar un ángulo arbitrario requiere encontrar una raíz de 4x³- 3x – g = 0, que en general será un polinomio irreducible pero no de grado 2 elevado n.
El teorema de Wantzel por sí solo no es suficiente para demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo, aunque asienta las bases para su demostración. Si √π es un número construible, debe ser la raíz de una ecuación irreducible de grado 2 elevado a n. En 1882, Ferdinand Lindemann (1852–1939) demostró que π es trascendental: por lo tanto, no hay ecuación de ningún grado con coeficientes racionales que pueda tener a π como raíz.

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