Nicolas Bourbaki y el fin de los matemáticos universales

Una característica de las matemáticas de los siglos XX y XXI es que ya no existen supermatemáticos.  Ya no contamos con personalidades que dominen todo el conocimiento matemático de su tiempo, el nuestro.

Pero no siempre fue así. Quizás el ejemplo más significativo sea el joven ISAAC NEWTON que tras haber sido admitido en el Trinity College en Cambridge en 1661, devoró la biblioteca universitaria, y lo hizo con tal ahínco que absorbió todo el saber matemático de su tiempo. Esta base le permitió crear nuevas áreas de conocimiento.

Un ejemplo más, el prolífico LEONHARD EULER considerado el matemático más importante del siglo XVIII, y sin duda uno de los mayores de la Historia. Aunque a diferencia de Newton no creó una nueva rama de las matemáticas, hizo aportes de inmenso calado en la mayoría de las existentes: Geometría, Análisis, Teoría de números, Teoría de grafos, Matemática aplicada, Lógica, Física, etc.  Buena parte de sus trabajos se publicaron con el nombre de Opera Omnia y que consta en la actualidad de 76 volúmenes, a pesar de que según el matemático Hanspeter Kraft, Presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más del 10% de sus escritos.

Pero las matemáticas (y la Ciencia en general) han sufrido tal impulso desde el Renacimiento a nuestros días que la proliferación de nuevos campos (teoría de grupos, análisis complejo, geometría Riemanniana, topología, geometría algebraica, topología algebraica,…) y el  desarrollo de los existentes ha hecho que el dominio de todo el panorama matemático sea una tarea imposible para un solo ser humano. Se dice que el último matemático que abarcó todo el saber matemático de su época fue HENRI POINCARÉ, entre cuyos logros se encuentran ser el fundador de la Topología combinatoria (homotopía, homología, grupo fundamental). Sus aportes al problema de los tres cuerpos y a la mecánica en general (de hecho, si bien no resolvió dicho problema, fue el ganador del premio otorgado por Oscar II, Rey de Suecia en su sexuagésimo cumpleaños). Sus trabajos en relatividad (introdujo la hipótesis de contracción de longitud para explicar los fallos en los experimentos ópticos y eléctricos para detectar el movimiento a través del éter), y un larguísimo etcétera. Poincaré estaba realmente interesado en “sentido profundo” de las cosas.  Fue el último MATEMÁTICO UNIVERSAL.

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Y en ese preciso momento, en el comienzo del siglo XX, entra en escena nuestro protagonista NICOLAS BOURBAKI nacido en 1935 y todavía en activo en la actualidad. Bourbaki tiene su despacho en la École Normale Supérieure de París y ha publicado diez volúmenes sobre Teoría de conjuntos, Álgebra, Topología, Funciones reales de una variable, Espacios vectoriales topológicos, Integración, Álgebra conmutativa, Álgebras y grupos de Lie, Teoría espectral y Topología Algebraica. En estos díez volúmenes, sin prerrequisitos matemáticos, se reformula desde el principio todo el edificio matemático de forma axiomática.

¿Pero no habíamos dicho que ya no existían Matemáticos Universales? Este tal Bourbaki, de 83 años no solo apunta a  supermatemático, apunta a un superhombre… Pero, ¿quién es Nicolas Bourbaki?

Pues no es una persona, pero, ¡oh decepción! Tampoco es un superhéroe, es un colectivo. En 1935 un grupo de jóvenes matemáticos (principalmente) franceses se reunieron para escribir una serie de libros que abarcara toda la matemática basándose en el rigor y la generalidad.

Resulta curioso que el énfasis en el rigor de Bourbaki parece haber sido una reacción al trabajo de Poincaré, quien insistió sobre la importancia de la intuición matemática fluida, incluso a costa de la completitud.

De entre los miembros fundadores de Bourbaki, y de hecho su primer líder, cabe destacar al parisino ANDRÉ WEIL. Weil estudió en París, Roma y Alemania (Göttingen) antes de obtener su doctorado en 1928 en la Université de Paris sobre Ecuaciones Diofánticas. Sus principales contribuciones versan sobre el descubrimiento de profundas conexiones entre la geometría algebraica y la teoría de números. Dio clases un año en Marsella antes de mudarse a Estrasburgo donde impartió docencia durante seis años y donde se casó en 1937.

André se encontraba en Finlandia cuando la Segunda guerra mundial estalló. Su esposa Éveline volvió a Francia sin él y fue arrestado por sospechas de espionaje. Finalmente regresó a Francia vía Suecia y Reino Unido, fue detenido en Le Havre en enero de 1940, acusado de no presentarse al servicio militar y fue encarcelado. Curiosamente es en la prisión militar de Bonne-Nouvelle donde completó el trabajo que le daría fama sobre la hipótesis de Riemann. Tras ser condenado a cinco años de prisión, Weil solicitó incorporarse a una unidad militar, pero tras la caída de Francia consiguió reunirse con su familia que había estado viviendo bajo la ocupación nazi.

En 1941, Weil se embarcó en Marsella rumbo a Nueva York, y tras pasar por la Universidad de Chicago y enseñar durante dos años en la Universidad de São Paulo, recaló, como tantos otros grandes matemáticos en el INSTITUTO DE ESTUDIOS AVANZADOS de Princeton.

En este blog hemos desarrollado un gusto especial por contaros pequeñas curiosidades, casi chismorreos del mundillo matemático. Aquí os dejo uno en relación a Weil y la revisión de las matemáticas de Bourbaki:

Todos hemos estudiado a temprana edad el TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA, también llamado Teorema de Factorización Única que dice una cosa bien simple: Todo número entero puede factorizarse como un producto de números primos de forma única (salvo el orden de los factores, claro). Este resultado era ya conocido en la Antigua Grecia y de hecho aparece demostrado en el mayor best-seller de las matemáticas, Los ELEMENTOS DE EUCLIDES, que datan de alrededor del 300 a. de C.

Pues bien, durante siglos dicho Teorema se ha utilizado bajo el paraguas protector de la demostración de Euclides, pero en pleno siglo XX, nuestro anterior protagonista, André Weil, descubrió que ¡la prueba dada por Euclides no demostraba de forma correcta la unicidad!

Esto no quiere decir que el Teorema no sea cierto, sino que el primero en demostrar correctamente con total generalidad el Teorema Fundamental de la Aritmética no fue Euclides sino… ¡Johann Carl Friedrich GAUSS! En efecto, en un pequeño librito publicado en 1801, Disquisitiones Arithmeticae, Gauss probaba el citado Teorema utilizando Aritmética Modular.

Os dejo aquí un vídeo sobre el Teorema Fundamental de la Aritmética y un artículo sobre Aritmética Modular y el ajedrez. ¡Espero que os gusten!
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Descartes influencer

Son muchos los pensadores que con el paso de los siglos son considerados influyentes en más de un área del saber. Si nos fijamos en las matemáticas, podemos incluir en esta lista a genios como Arquímedes, quien destacó en ingeniería (recuérdense su palanca, polipastos y el tornillo que lleva su nombre), en física (enunció e principio de Arquímedes de la  hidroestática) y por supuesto en matemáticas (definición y aproximación de la constante más famosa de las matemáticas π, cálculo de áreas de figuras curvas siglos antes del descubrimiento del cálculo infinitesimal, fórmula del volumen de una esfera,…).

También tendríamos al mismísimo Isaac Newton quien en dos años de encierro en la granja familiar revolucionó la óptica (descomposición de los colores), la física (Ley de Gravitación Universal) y las matemáticas (descubrimiento del cálculo infinitesimal) o a Johann Carl Friedrich Gauss, quien destacó en astronomía (predijo la aparición de Ceres y elaboró su teoría de movimiento de cuerpos celestes), física (estudió el magnetismo, enunció el teorema de la divergencia en  teoría del potencial) y por supuesto matemáticas (Teorema fundamental del álgebra, descubrimiento de las geometrías no euclídeas, Teorema Egregium en geometría diferencial, Ley de mínimos cuadrados, y un larguísimo etcétera).

Sin embargo, algunos de estos resultados no deberíamos verlos como avances independientes dado que de algún modo tienen cierta intersección. Por ejemplo, es muy probable que la fórmula del volumen de la esfera de Arquimedes la dedujera gracias a la ley de la palanca (véase el capítulo IX.5 página 155 de ‘Mathematics and plausible reasoning’ de George Polya que nos gustaría contaros en formato vídeo pronto).

Otro ejemplo es el tema del que queremos hablar en esta ocasión, el de un personaje que todos los que tengamos una cierta edad hemos estudiado en dos asignaturas completamente diferentes: Matemáticas y Filosofía (por cierta edad me refiero a la suficiente para que la Filosofía no hubiera sido desterrada de los planes de estudio).

Nuestro protagonista es considerado el padre de la Geometría Analítica por una parte, y de la Filosofía Moderna por otra. En efecto, estamos hablando de RENÉ DESCARTES.

Descartes (o Cartesius en su forma latinizada) pensó que en vez de estudiar la geometría de forma sintética como se hiciera en la antigua Grecia, considerando los objetos geométricos planos o del espacio en sí mismos, en términos de las propiedades que los caracterizan y las relaciones entre ellos de posición, distancia, congruencia, intersección, etc. Podíamos situar un par de ejes en el plano (o tres en el espacio) que nos sirvan de referencia. De este modo, los objetos geométricos y sus relaciones se “traducirían” en ecuaciones. Y resolver un problema geométrico quedaría reducido a resolver un problema algebraico.

Este planteamiento resultó tan revolucionario y potente que desplazó casi por completo a la antigua geometría sintética. Además, otorgó a Descartes el título póstumo de Gigante sobre cuyos hombros se apoyó Newton.

Descartes expuso su método filosófico y científico en ‘Reglas para la dirección de la mente’ (1628) y más explícitamente en su ‘Discurso del método’ (1637), donde estableció una clara ruptura con la escolástica que se enseñaba en las universidades.

A pesar de no vivir en nuestra época, en la que los eslóganes de tres palabras pueden hacer ganar mucho dinero a algunos publicistas, Descartes hizo viral para la eternidad el célebre principio “cogito ergo sum” (“pienso, luego existo”), elemento esencial del racionalismo occidental.

Más allá de toda duda se encuentra nuestra propia existencia. Por muy poco fiables que puedan ser nuestros sentidos, no invalidan la certeza que tenemos respecto a la proposición “pienso, luego existo”, pues se trata de un conocimiento intuitivo que se obtiene de modo inmediato y directo.

Descartes analiza esta primera certeza para descubrir las notas distintivas que le servirán de criterio para identificar otras afirmaciones verdaderas. Serán aceptadas como verdaderas aquellas ideas que sean claras (ciertamente presentes a la conciencia) y distintas (no confundidas con otras ideas).

Descartes quería convertir la filosofía en un conocimiento científico. Para ello se basó en las matemáticas, que consideraba como ciencia segura y trató de describir el principio de matematización en su ‘Discurso del Método’ a través de cuatro reglas:

1.- Evidencia: solo es verdadero todo aquello que no emite ninguna duda al pensamiento.

2.- Análisis: Reducir lo complejo a partes más simples para entenderlo correctamente.

3.- Deducción: Permitir a la operación racional deductiva el peso de la investigación, para encontrar las verdades complejas a partir de la deducción de las simples.

4.- Comprobación: Comprobar si lo descubierto a partir de la razón fue conseguido a través de estas reglas antes mencionadas.

Para un matemático (como yo) el estudio de Descartes resultaba un verdadero placer dada su sencillez y claridad. Sin embargo, un trueno iba a irrumpir en mitad de un día soleado: LA HIPÓTESIS DEL GENIO MALIGNO.

De repente, Descartes introduce en sus ‘Meditaciones Metafísicas’ la posibilidad de que exista un genio maligno que perturbe nuestra capacidad de raciocinio y haga dudar de las mismas matemáticas.

Así que es necesario un GARANTE DEL CONOCIMIENTO, y ese es DIOS. La prueba de la existencia de este Dios la basó Descartes en diferentes argumentos, pero los matemáticos que tan felices nos las deseábamos nos quedamos un poco chafados.

A pesar de ello, no deja de tener cierto paralelismo con su Geometría Analítica. Descartes introdujo en el mundo de la geometría unos ejes de coordenadas para usarlos como referencia. Ante la falibilidad de los sentidos, Descartes no pudo evitar introducir en su filosofía un Dios que le sirviera de referencia a modo de unos ejes cartesianos.

¡Nos vamos de vacaciones!  Pero os dejamos esta animación sobre como la geometría sintética supera a la geometría analítica en una batalla de Dragon Ball XYZ.

Volvemos en septiembre. ¡FELIZ VERANO!

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La leyenda de Alan Turing

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Un 7 de junio como el que acontece fue el último día en la vida de Alan Turing. Además de corredor de largas distancias, Alan era matemático, filósofo, lógico, científico de la computación y criptógrafo… Y, además, como sabéis, una leyenda.

¿Son las matemáticas decidibles? ¿existe algún método bien definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y nos diga si es cierta o no? Esta fue la cuestión planteada por David Hilbert en 1900.

En 1931 Kurt Gödel (1906 –1978) derramó un jarro de agua fría sobre la comunidad matemática dando una respuesta negativa: sin importar cómo se formalice la matemática, siempre habrá proposiciones tales que ni ella ni su negación puedan deducirse de los axiomas. Y lo que es peor un sistema no puede probar su consistencia por sí mismo.

Turing reformuló estos resultados en su trabajo “Los números computables, con una aplicación al Entscheidungsproblem” sustituyendo el lenguaje formal universal descrito por Gödel por lo que hoy se conoce como MÁQUINA DE TURING.

Una máquina de Turing es en realidad un dispositivo hipotético que representa una máquina de computación y sirve para estudiar los límites del cálculo mecánico. Turing probó que existían problemas que una máquina no podía resolver.

Pero todo esto puede parecer un tanto abstracto y poco aplicable como para considerarse la obra de una leyenda… ¡Nada más lejos de la realidad!

Al estallar la SEGUNDA GUERRA MUNDIAL Alan Turing convenció al Primer Ministro Británico, Winston Churchill para que le dotara de los medios adecuados para descifrar los códigos secretos nazis que la Marina alemana empleaba para enviar las instrucciones a los submarinos que hundían en el Atlántico los convoyes de ayuda material traída de Estados Unidos.
Al mando de esta división de Inteligencia Británica, Turing desarrolló los procesos y las máquinas para efectuar los cálculos combinatorios necesarios para descifrar los códigos. Se estima que el descifrado de los códigos secretos pudo acortar la Segunda Guerra Mundial entre 2 y 4 años lo que supone, hablando de “números computables”, un incalculable número de vidas humanas.
Si bien Turing había probado las limitaciones de una maquina a la hora de resolver problemas matemáticos también había exprimido su potencial para resolverlos! 😊

Entre 1945 a 1948 Turing trabajaría en el Laboratorio Nacional de Física (NPL) en el diseño del ACE (Automatic Computer Engine o Motor de Computación Automática) y en 1946 presentaría el primer diseño detallado de un computador automático. El secretismo alrededor de este tipo de proyectos tras la guerra llevo a constantes retrasos que acabaron por desilusionar a Alan.

En 1947, Turing se tomó un año sabático en el que escribió un trabajo pionero sobre Inteligencia Artificial que tristemente no fue publicado en vida.

A finales de la década de los 40 Turing trabajó en el software de una de las primeras computadoras reales, la Manchester Mark I, y publicó «Computing machinery and intelligence» donde Turing propuso el experimento que hoy se conoce como Test de Turing para definir un estándar “humano”. Digamos que diseñó un test inverso de los famosos CAPTCHA que hoy día se utilizan ampliamente en Internet para determinar si somos una máquina o un humano.

No exageramos si decimos que Turing es uno de los padres de la Ciencia de la Computación y de la Informática Moderna.

A pesar de todas sus contribuciones al Imperio Británico y a la humanidad, el Imperio Británico le procesó en 1952 por «indecencia grave y perversión sexual» al reconocer su homosexualidad al igual que le ocurriera a Oscar Wilde más de 50 años antes.

En 1954, dos años después del juicio, Alan Turing falleció por envenenamiento con cianuro, aparentemente tras comerse una manzana envenenada que no llegó a ingerir completamente.

Para terminar esta breve biografía no podía dejar pasar un hecho curioso. El símbolo de una manzana en ciencia siempre estará asociado a la manzana de Newton. Sin embargo, la compañía tecnológica Apple utiliza también una manzana como logo. Como puede verse la manzana del LOGO DE APPLE tiene un mordisco… ¿se trata de un homenaje a Alan Turing como padre de la Informática?

Gauss en la escuela

[vc_row][vc_column][vc_column_text]Hoy toca un poco de historia de las matemáticas, pero sin cargar las tintas. Queremos presentaros a uno de nuestros matemáticos de cabecera, Juan Carlos Federico GAUSS. Para ello hemos elegido una anécdota de su infancia.

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