La paradoja de Russell muestra que no puede existir el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos: si se contiene, no debería contenerse; y si no se contiene, debería. Bertrand Russell se la comunicó por carta a Frege en 1902, con el segundo tomo de su obra ya en imprenta, y puso en crisis los fundamentos de las matemáticas.
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Te contamos la paradoja de Russell en viñetas, para leerla cuando quieras, descargarla o regalarla.
La paradoja, paso a paso
Llamamos normal a un conjunto que no es elemento de sí mismo y singular al que sí lo es. Russell consideró el conjunto de todos los normales: M = {x : x ∉ x}.
- Si M es normal, M ∉ M. Entonces cumple la condición que define M, así que M ∈ M.
- Si M es singular, M ∈ M. Entonces debe cumplir esa condición, así que M ∉ M.
Por tanto, M ∈ M si y solo si M ∉ M: una contradicción.
¿Qué falló?
El axioma de comprensión de Frege, según el cual cualquier propiedad define un conjunto.
¿Cómo se arregló?
En 1908, Zermelo restringió ese principio: ya no vale cualquier propiedad para crear un conjunto, y solo se pueden separar elementos de un conjunto que ya existe. Su axiomática, ampliada después sobre todo por Fraenkel, es la que se usa hoy (ZF), y en ella M no es un conjunto. Russell, por su parte, propuso la teoría de tipos.
Una precisión sobre el vídeo
Citamos la obra de 1893 como Grundlagen der Arithmetik. En realidad es Grundgesetze der Arithmetik (Leyes fundamentales de la aritmética); los Grundlagen son de 1884.
La camiseta
Russell fumando en pipa, con su paradoja escrita en el humo. Pronto volverá a estar disponible: Próximamente.
La historia completa
Un poco de contexto histórico
Mucha gente piensa que las matemáticas son una ciencia acabada y pulida, que poco o nada se ha hecho desde la época de los griegos. Pero esto no es así, las matemáticas están y estarán siempre en construcción.
De hecho, la teoría de conjuntos a la que pertenece La Paradoja de Russell se creó en el siglo XIX. Y muchas ramas de las matemáticas como la topología algebraica o la teoría de juegos pertenecen al siglo XX. En las matemáticas además de evolución también ha habido grandes revoluciones, una de las más importantes comenzó con la Paradoja de Russell que desestabilizó la teoría de conjuntos y con ello a todo el edificio de las matemáticas.
La paradoja de Russell
El germen de esta revolución lo encontramos en el siglo XIX y su corriente axiomática. En ese momento se empezaron a cuestionar ciertas ideas que se daban por hecho, como la certeza del quinto postulado de la geometría de Euclides del que ya hablamos en un vídeo .
El poderoso e influyente matemático Leopold Kronecker (1823-1891) había dicho una de las frases más célebres de la Historia de las Matemáticas
“Dios creó los números, el resto es obra del hombre”
Donde por números se refiere a los naturales, los de contar de toda la vida y que todos los demás conjuntos numéricos (enteros, racionales, reales, complejos, etc) se pueden construir a partir de estos.
Cantor trató de dar una axiomática para los números naturales basándola en la teoría de conjuntos. Publicó sus ideas en 1883 con el título “Fundamentos para una teoría general de conjuntos”, obra que tenía como subtítulo “Una investigación matemático-filosófica sobre el infinito”.
En su obra, Cantor pedía perdón por utilizar la idea de infinito como objeto matemático, pero a pesar de ello enfureció a parte de la comunidad matemática capitaneada por Kronecker que llegó a presionar a las revistas especializadas para evitar que publicaran sus resultados.
Afortunadamente, algunas figuras relevantes como David Hilbert y Gottlob Frege apoyaron las teorías de Cantor y este pudo ver reconocida su labor en vida.
Como diría Hilbert “Nadie podrá expulsarnos nunca del paraíso que Cantor creó para nosotros”
Desde el principio, Gottlob Frege (1848-1925) tuvo claro que la teoría de conjuntos de Cantor era la respuesta a la fundamentación de la matemática. Por ello se convirtió en uno de los lógicos más importantes desde Aristóteles y dedicó su vida a formalizar con absoluto rigor, con una notación exenta de ambigüedades, la teoría de conjuntos iniciada por Cantor.
Para Frege la capacidad humana para familiarizarse con los números naturales no podía estar relacionada con la experiencia directa o el espacio geométrico, sino con el lenguaje y la lógica. Este tipo de interpretación filosófica de las matemáticas se conoce como LOGICISMO
Frege dedicó toda su vida a esta tarea y en 1879 publicó su primera gran obra, Begriffsschrift, que podemos traducir como “conceptografía”, definiendo el lenguaje preciso y riguroso que necesitaba.
En 1893 publicó el primer tomo de su ambicioso proyecto Grundgesetze der Arithmetik (Leyes fundamentales de la aritmética).
Pero en esta obra, para definir los conjuntos, Frege adoptó el “axioma de comprensión” que afirma que existe cualquier conjunto definido por una propiedad. Esto que parece tan inocente se convertiría en la mayor pesadilla de la Historia de las Matemáticas
Mientras Frege trabajaba en el segundo tomo de sus Leyes fundamentales de la aritmética un joven matemático británico llamado Bertrand Russell (1872-1970) comenzó a estudiar su obra “conceptografía” y encontró que gran parte de las ideas en las que estaba trabajando ya habían sido publicadas por Frege 20 años antes.
A pesar de que Russell al igual que Frege buscaba cimentar el edificio de las matemáticas lo que descubrió fue más bien una carga explosiva en sus cimientos.
El 16 de junio de 1902 Russell escribió a Frege una carta que contenía la paradoja que describiremos. El segundo tomo ya estaba en imprenta, y Frege tuvo que añadir a toda prisa un apéndice al final del libro reconociendo que la paradoja hacía tambalearse los cimientos de su obra.
La paradoja de Russell
Para entender la paradoja vamos a imaginarnos una biblioteca inmensa en la que estén todos los libros del mundo y que recibe un ejemplar de cualquier libro que se escribe.
El bibliotecario un buen día decide ordenar todos los libros en tan solo dos estanterías altiiiiisimas. En una colocará los libros que no se incluyen a sí mismo como referencia, llamémosles libros normales. En la otra colocará los libros que se referencien a sí mismo. Por ejemplo prácticamente todo libro de matemáticas estará en esta estantería ya que constantemente dicen “por el Teorema A que vimos en la página X” lo que es una referencia a si mismo. También Alicia en el País de las Maravillas y El Quijote son de este tipo. A este tipo le llamaremos libros singulares.
Todos los libros que se puedan escribir deben estar en una de estas dos estanterías ¿De verdad estamos tan seguros?
Después de ordenarlos el bibliotecario decide rellenar dos catálogos, uno para la estantería de libros normales con todos los libros de dicha estantería y otro catálogo para la estantería de libros singulares con todos los libros de esta estantería.
Pero una vez finalizados estos dos catálogos tiene que decidir en qué estantería colocarlos.
El catálogo de libros singulares lo coloca en la estantería de libros singulares añadiendo una última línea en dicho catálogo “Catálogo de libros singulares”. Perfecto. Dado que dicho catálogo aparece en la última línea se referencia a sí mismo y es en esta estantería donde debe estar.
¿Pero el catálogo de libros normales? Si lo coloca en la estantería de libros normales deberá añadir una última línea que diga “Catálogo de libros normales” pero entonces automáticamente dejará de ser un libro normal pues se referencia a sí mismo. Así que debe estar en la estantería de los libros singulares.
Pero, ¡un momento! Entonces no debe aparecer en la última línea del catálogo de libros normales pues no lo es. La tachamos.
Pero si tachamos esta línea ya no se referencia a sí mismo y sería un libro normal y debemos moverlo de estantería. Pero…
El catálogo de libros normales parece no encajar en ninguna de las dos estanterías!!
ESTA ES LA PARADOJA DE RUSSELL
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