Belleza, amor platónico y unión indisoluble

Como el título parece indicar este post va sobre relaciones, pero os garantizamos que su contenido es rigurosamente matemático.

Os vamos a contar la conexión que existe entre tres fascinantes objetos, matemáticos, claro:

 

Objeto nº 1

El número de la belleza, que como todo el mundo sabe es el 1.61803398874989… y un porrón de cifras más, porque evidentemente si es el de la belleza, racional no iba a ser. Aunque su nombre, pueda llevar a engaño y en un primer momento podamos pensar que el número áureo, usualmente representado por la letra giegra φ (phi), es el número de la riqueza, no, no lo es, es el de las proporciones perfectas. Qué son las que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen lo siguiente: La longitud total, suma de los dos segmentos a y b,

es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:

(a+b)/a=a/b

Vamos a calcular el valor de φ=a/b    a partir de la identidad anterior. Dicha identidad se puede escribir como

1+b/a=a/b

Es decir, tendríamos 1+φ^(-1)=φ . Para resolver esta ecuación multiplicamos ambos miembros de la igualdad por φ obteniendo

φ+1=φ^2

que es una ecuación de segundo grado cuya solución positiva es

(1+√5)/2=1,618033988749894…

 

Este número irracional aparece en innumerables e insospechados lugares, tanto de las matemáticas como de otras disciplinas tales como el arte o la arquitectura. Atención, aviso, vamos a ponernos cursis, muy cursis:

Pero sobre todo dónde aparece el número aúreo es en donde habita la belleza, en la naturaleza.

Ahí van algunos ejemplos:

  • En la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión definida por F_1=1, F_2=1 y por recurrencia F_(n+1)=F_n+F_(n-1), verifica que lim n→∞  F_(n+1)/F_n = φ. (Esta fabulosa propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler!)
  • En la construcción del pentágono regular.
  • En la distribución de pétalos de flores o de las hojas de un tallo
  • En la cantidad de espirales de una piña
  • En la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas
  • Y en un largo etcétera…

Objeto nº 2

El icosaedro, uno de los cinco sólidos platónicos (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro y el mismo). Está compuesto por 20 caras, todas ellas triángulos equiláteros. Y tiene más o menos este aspecto:

 

Ya que han salido los sólidos platónicos, vamos a contaros un cotilleo. Johannes Kepler al que acabamos de mencionar en relación con la sucesión de Fibonacci, trató de relacionar de forma obsesiva los sólidos platónicos con el movimiento de los planetas,

ya que en su época se conocían tan solo 5 planetas, tantos como sólidos platónicos y Kepler pensó que esto no podía ser casualidad. Digamos que este “amor platónico” a punto estuvo de acabar en trastorno matemático-mental. Por suerte para todos desistió a tiempo de esa idea errónea y acabó enunciando las famosas tres Leyes del movimiento de los planetas que llevan su nombre.  También nos dejó una preciosa cita sobre el objeto nº 1:

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa.”
― Johannes Kepler

 

Objeto nº 3

Los anillos de Borromeo (el trío).

¿Es posible enlazar tres anillos de manera que cada pareja de anillos no está enlazada entre sí pero los tres de forma conjunta sean inseparables?
Si el anillo naranja de la siguiente animación no está enlazado ni con el verde ni con el morado y lo mismo le sucede a los otros dos ¿Cómo demonios puede ser que el conjunto completo esté indisolublemente unido?

 

Esta configuración de anillos se conoce con el nombre de enlace o anillos de Borromeo. Este nombre proviene de, ¡oh, sorpresa! De los Borromeo, nobles del norte de Italia que se lo pusieron en el escudo.  Aunque el enlace en sí es mucho más antiguo, aparece en imágenes nórdicas grabadas en piedra del siglo séptimo simbolizando el ‘valknut’ o nudo de la muerte, nombre mucho más molón.
Aunque este objeto se ha considerado precursor de ciertos espectáculos de magia como los antiguos anillos chinos y ha sido profusamente tratado en la matemática recreativa como por ejemplo en Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens de Martin Gardner, se trata de un OBJETO MATEMÁTICO SERIO.
Los anillos de Borromeo pertenecen a la rama de la TOPOLOGÍA, y más concretamente, a la TEORÍA DE NUDOS aunque podemos encontrarlos en otros contextos matemáticos.

 

La hermosísima relación de los Objetos n º 1, nº 2 y nº 3

Y ahora que ya os los hemos presentado a los protagonistas os dejamos disfrutar de la peli, una hermosísima historia de amor.


Y aunque creemos que no es necesaria os dejamos una BREVE EXPLICACIÓN:

Si consideramos tres rectángulos áureos, esto es, rectángulos de lados a y b en proporción áurea (por ejemplo de longitudes 1 y (1+√5)/2. Y los encajamos cortándose en ángulos rectos entre sí como si de tres planos coordenados en el espacio euclídeo tridimensional se tratasen. Y después unimos con segmentos los 12 vértices de los tres rectángulos obtenemos el ICOSAEDRO.

Pero eso no es todo, los perímetros de los rectángulos aúreos están enlazados como los anillos de Borromeo. Cada pareja de anillos no está enlazada entre sí, pero los tres de forma conjunta sean inseparables.

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Multiplicacion y Division de Fracciones

Terminamos nuestra primera serie sobre fracciones explicando cómo multiplicar y dividir fracciones.Como siempre deforma sencilla y visual.

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Como siempre estaré encantado de responder a vuestras preguntas.

 

Cómo sumar tres fracciones con diferente denominador

Continuamos con nuestra serie sobre fracciones con algunas sumas un poco más complicadas. En este caso veremos sumas (y restas) de más de dos fracciones con diferente denominador. Estudiaremos con todo lujo de detalle dos métodos para llevar a cabo esta operación. ¡Esperamos que os guste!

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Como siempre estaré encantado de responder a vuestras preguntas.[vc_video link=»https://youtu.be/BWyMjFPm2uk» align=»center»]

Nicolas Bourbaki y el fin de los matemáticos universales

Una característica de las matemáticas de los siglos XX y XXI es que ya no existen supermatemáticos.  Ya no contamos con personalidades que dominen todo el conocimiento matemático de su tiempo, el nuestro.

Pero no siempre fue así. Quizás el ejemplo más significativo sea el joven ISAAC NEWTON que tras haber sido admitido en el Trinity College en Cambridge en 1661, devoró la biblioteca universitaria, y lo hizo con tal ahínco que absorbió todo el saber matemático de su tiempo. Esta base le permitió crear nuevas áreas de conocimiento.

Un ejemplo más, el prolífico LEONHARD EULER considerado el matemático más importante del siglo XVIII, y sin duda uno de los mayores de la Historia. Aunque a diferencia de Newton no creó una nueva rama de las matemáticas, hizo aportes de inmenso calado en la mayoría de las existentes: Geometría, Análisis, Teoría de números, Teoría de grafos, Matemática aplicada, Lógica, Física, etc.  Buena parte de sus trabajos se publicaron con el nombre de Opera Omnia y que consta en la actualidad de 76 volúmenes, a pesar de que según el matemático Hanspeter Kraft, Presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más del 10% de sus escritos.

Pero las matemáticas (y la Ciencia en general) han sufrido tal impulso desde el Renacimiento a nuestros días que la proliferación de nuevos campos (teoría de grupos, análisis complejo, geometría Riemanniana, topología, geometría algebraica, topología algebraica,…) y el  desarrollo de los existentes ha hecho que el dominio de todo el panorama matemático sea una tarea imposible para un solo ser humano. Se dice que el último matemático que abarcó todo el saber matemático de su época fue HENRI POINCARÉ, entre cuyos logros se encuentran ser el fundador de la Topología combinatoria (homotopía, homología, grupo fundamental). Sus aportes al problema de los tres cuerpos y a la mecánica en general (de hecho, si bien no resolvió dicho problema, fue el ganador del premio otorgado por Oscar II, Rey de Suecia en su sexuagésimo cumpleaños). Sus trabajos en relatividad (introdujo la hipótesis de contracción de longitud para explicar los fallos en los experimentos ópticos y eléctricos para detectar el movimiento a través del éter), y un larguísimo etcétera. Poincaré estaba realmente interesado en “sentido profundo” de las cosas.  Fue el último MATEMÁTICO UNIVERSAL.

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Y en ese preciso momento, en el comienzo del siglo XX, entra en escena nuestro protagonista NICOLAS BOURBAKI nacido en 1935 y todavía en activo en la actualidad. Bourbaki tiene su despacho en la École Normale Supérieure de París y ha publicado diez volúmenes sobre Teoría de conjuntos, Álgebra, Topología, Funciones reales de una variable, Espacios vectoriales topológicos, Integración, Álgebra conmutativa, Álgebras y grupos de Lie, Teoría espectral y Topología Algebraica. En estos díez volúmenes, sin prerrequisitos matemáticos, se reformula desde el principio todo el edificio matemático de forma axiomática.

¿Pero no habíamos dicho que ya no existían Matemáticos Universales? Este tal Bourbaki, de 83 años no solo apunta a  supermatemático, apunta a un superhombre… Pero, ¿quién es Nicolas Bourbaki?

Pues no es una persona, pero, ¡oh decepción! Tampoco es un superhéroe, es un colectivo. En 1935 un grupo de jóvenes matemáticos (principalmente) franceses se reunieron para escribir una serie de libros que abarcara toda la matemática basándose en el rigor y la generalidad.

Resulta curioso que el énfasis en el rigor de Bourbaki parece haber sido una reacción al trabajo de Poincaré, quien insistió sobre la importancia de la intuición matemática fluida, incluso a costa de la completitud.

De entre los miembros fundadores de Bourbaki, y de hecho su primer líder, cabe destacar al parisino ANDRÉ WEIL. Weil estudió en París, Roma y Alemania (Göttingen) antes de obtener su doctorado en 1928 en la Université de Paris sobre Ecuaciones Diofánticas. Sus principales contribuciones versan sobre el descubrimiento de profundas conexiones entre la geometría algebraica y la teoría de números. Dio clases un año en Marsella antes de mudarse a Estrasburgo donde impartió docencia durante seis años y donde se casó en 1937.

André se encontraba en Finlandia cuando la Segunda guerra mundial estalló. Su esposa Éveline volvió a Francia sin él y fue arrestado por sospechas de espionaje. Finalmente regresó a Francia vía Suecia y Reino Unido, fue detenido en Le Havre en enero de 1940, acusado de no presentarse al servicio militar y fue encarcelado. Curiosamente es en la prisión militar de Bonne-Nouvelle donde completó el trabajo que le daría fama sobre la hipótesis de Riemann. Tras ser condenado a cinco años de prisión, Weil solicitó incorporarse a una unidad militar, pero tras la caída de Francia consiguió reunirse con su familia que había estado viviendo bajo la ocupación nazi.

En 1941, Weil se embarcó en Marsella rumbo a Nueva York, y tras pasar por la Universidad de Chicago y enseñar durante dos años en la Universidad de São Paulo, recaló, como tantos otros grandes matemáticos en el INSTITUTO DE ESTUDIOS AVANZADOS de Princeton.

En este blog hemos desarrollado un gusto especial por contaros pequeñas curiosidades, casi chismorreos del mundillo matemático. Aquí os dejo uno en relación a Weil y la revisión de las matemáticas de Bourbaki:

Todos hemos estudiado a temprana edad el TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA, también llamado Teorema de Factorización Única que dice una cosa bien simple: Todo número entero puede factorizarse como un producto de números primos de forma única (salvo el orden de los factores, claro). Este resultado era ya conocido en la Antigua Grecia y de hecho aparece demostrado en el mayor best-seller de las matemáticas, Los ELEMENTOS DE EUCLIDES, que datan de alrededor del 300 a. de C.

Pues bien, durante siglos dicho Teorema se ha utilizado bajo el paraguas protector de la demostración de Euclides, pero en pleno siglo XX, nuestro anterior protagonista, André Weil, descubrió que ¡la prueba dada por Euclides no demostraba de forma correcta la unicidad!

Esto no quiere decir que el Teorema no sea cierto, sino que el primero en demostrar correctamente con total generalidad el Teorema Fundamental de la Aritmética no fue Euclides sino… ¡Johann Carl Friedrich GAUSS! En efecto, en un pequeño librito publicado en 1801, Disquisitiones Arithmeticae, Gauss probaba el citado Teorema utilizando Aritmética Modular.

Os dejo aquí un vídeo sobre el Teorema Fundamental de la Aritmética y un artículo sobre Aritmética Modular y el ajedrez. ¡Espero que os gusten!
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Descartes influencer

Son muchos los pensadores que con el paso de los siglos son considerados influyentes en más de un área del saber. Si nos fijamos en las matemáticas, podemos incluir en esta lista a genios como Arquímedes, quien destacó en ingeniería (recuérdense su palanca, polipastos y el tornillo que lleva su nombre), en física (enunció e principio de Arquímedes de la  hidroestática) y por supuesto en matemáticas (definición y aproximación de la constante más famosa de las matemáticas π, cálculo de áreas de figuras curvas siglos antes del descubrimiento del cálculo infinitesimal, fórmula del volumen de una esfera,…).

También tendríamos al mismísimo Isaac Newton quien en dos años de encierro en la granja familiar revolucionó la óptica (descomposición de los colores), la física (Ley de Gravitación Universal) y las matemáticas (descubrimiento del cálculo infinitesimal) o a Johann Carl Friedrich Gauss, quien destacó en astronomía (predijo la aparición de Ceres y elaboró su teoría de movimiento de cuerpos celestes), física (estudió el magnetismo, enunció el teorema de la divergencia en  teoría del potencial) y por supuesto matemáticas (Teorema fundamental del álgebra, descubrimiento de las geometrías no euclídeas, Teorema Egregium en geometría diferencial, Ley de mínimos cuadrados, y un larguísimo etcétera).

Sin embargo, algunos de estos resultados no deberíamos verlos como avances independientes dado que de algún modo tienen cierta intersección. Por ejemplo, es muy probable que la fórmula del volumen de la esfera de Arquimedes la dedujera gracias a la ley de la palanca (véase el capítulo IX.5 página 155 de ‘Mathematics and plausible reasoning’ de George Polya que nos gustaría contaros en formato vídeo pronto).

Otro ejemplo es el tema del que queremos hablar en esta ocasión, el de un personaje que todos los que tengamos una cierta edad hemos estudiado en dos asignaturas completamente diferentes: Matemáticas y Filosofía (por cierta edad me refiero a la suficiente para que la Filosofía no hubiera sido desterrada de los planes de estudio).

Nuestro protagonista es considerado el padre de la Geometría Analítica por una parte, y de la Filosofía Moderna por otra. En efecto, estamos hablando de RENÉ DESCARTES.

Descartes (o Cartesius en su forma latinizada) pensó que en vez de estudiar la geometría de forma sintética como se hiciera en la antigua Grecia, considerando los objetos geométricos planos o del espacio en sí mismos, en términos de las propiedades que los caracterizan y las relaciones entre ellos de posición, distancia, congruencia, intersección, etc. Podíamos situar un par de ejes en el plano (o tres en el espacio) que nos sirvan de referencia. De este modo, los objetos geométricos y sus relaciones se “traducirían” en ecuaciones. Y resolver un problema geométrico quedaría reducido a resolver un problema algebraico.

Este planteamiento resultó tan revolucionario y potente que desplazó casi por completo a la antigua geometría sintética. Además, otorgó a Descartes el título póstumo de Gigante sobre cuyos hombros se apoyó Newton.

Descartes expuso su método filosófico y científico en ‘Reglas para la dirección de la mente’ (1628) y más explícitamente en su ‘Discurso del método’ (1637), donde estableció una clara ruptura con la escolástica que se enseñaba en las universidades.

A pesar de no vivir en nuestra época, en la que los eslóganes de tres palabras pueden hacer ganar mucho dinero a algunos publicistas, Descartes hizo viral para la eternidad el célebre principio “cogito ergo sum” (“pienso, luego existo”), elemento esencial del racionalismo occidental.

Más allá de toda duda se encuentra nuestra propia existencia. Por muy poco fiables que puedan ser nuestros sentidos, no invalidan la certeza que tenemos respecto a la proposición “pienso, luego existo”, pues se trata de un conocimiento intuitivo que se obtiene de modo inmediato y directo.

Descartes analiza esta primera certeza para descubrir las notas distintivas que le servirán de criterio para identificar otras afirmaciones verdaderas. Serán aceptadas como verdaderas aquellas ideas que sean claras (ciertamente presentes a la conciencia) y distintas (no confundidas con otras ideas).

Descartes quería convertir la filosofía en un conocimiento científico. Para ello se basó en las matemáticas, que consideraba como ciencia segura y trató de describir el principio de matematización en su ‘Discurso del Método’ a través de cuatro reglas:

1.- Evidencia: solo es verdadero todo aquello que no emite ninguna duda al pensamiento.

2.- Análisis: Reducir lo complejo a partes más simples para entenderlo correctamente.

3.- Deducción: Permitir a la operación racional deductiva el peso de la investigación, para encontrar las verdades complejas a partir de la deducción de las simples.

4.- Comprobación: Comprobar si lo descubierto a partir de la razón fue conseguido a través de estas reglas antes mencionadas.

Para un matemático (como yo) el estudio de Descartes resultaba un verdadero placer dada su sencillez y claridad. Sin embargo, un trueno iba a irrumpir en mitad de un día soleado: LA HIPÓTESIS DEL GENIO MALIGNO.

De repente, Descartes introduce en sus ‘Meditaciones Metafísicas’ la posibilidad de que exista un genio maligno que perturbe nuestra capacidad de raciocinio y haga dudar de las mismas matemáticas.

Así que es necesario un GARANTE DEL CONOCIMIENTO, y ese es DIOS. La prueba de la existencia de este Dios la basó Descartes en diferentes argumentos, pero los matemáticos que tan felices nos las deseábamos nos quedamos un poco chafados.

A pesar de ello, no deja de tener cierto paralelismo con su Geometría Analítica. Descartes introdujo en el mundo de la geometría unos ejes de coordenadas para usarlos como referencia. Ante la falibilidad de los sentidos, Descartes no pudo evitar introducir en su filosofía un Dios que le sirviera de referencia a modo de unos ejes cartesianos.

¡Nos vamos de vacaciones!  Pero os dejamos esta animación sobre como la geometría sintética supera a la geometría analítica en una batalla de Dragon Ball XYZ.

Volvemos en septiembre. ¡FELIZ VERANO!

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Ajedrez y Geometría no euclídea

¡Esta vez nos toca hablar del mundo de las 64 casillas! Nos concentraremos en cómo se mueve rey y la geometría… Pero ¿Qué relación puede haber entre la geometría y nuestro juego-ciencia? Repasaremos la historia de la geometría desde Euclides a Gauss y veremos como las trayectorias que describe nuestro monarca son de lo más sorprendente.

Os animamos a dejarnos vuestras opiniones o dudas en la sección de comentarios.