Como el título parece indicar este post va sobre relaciones, pero os garantizamos que su contenido es rigurosamente matemático.

Os vamos a contar la conexión que existe entre tres fascinantes objetos, matemáticos, claro:

 

Objeto nº 1

El número de la belleza, que como todo el mundo sabe es el 1.61803398874989… y un porrón de cifras más, porque evidentemente si es el de la belleza, racional no iba a ser. Aunque su nombre, pueda llevar a engaño y en un primer momento podamos pensar que el número áureo, usualmente representado por la letra giegra φ (phi), es el número de la riqueza, no, no lo es, es el de las proporciones perfectas. Qué son las que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen lo siguiente: La longitud total, suma de los dos segmentos a y b,

es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:

(a+b)/a=a/b

Vamos a calcular el valor de φ=a/b    a partir de la identidad anterior. Dicha identidad se puede escribir como

1+b/a=a/b

Es decir, tendríamos 1+φ^(-1)=φ . Para resolver esta ecuación multiplicamos ambos miembros de la igualdad por φ obteniendo

φ+1=φ^2

que es una ecuación de segundo grado cuya solución positiva es

(1+√5)/2=1,618033988749894…

 

Este número irracional aparece en innumerables e insospechados lugares, tanto de las matemáticas como de otras disciplinas tales como el arte o la arquitectura. Atención, aviso, vamos a ponernos cursis, muy cursis:

Pero sobre todo dónde aparece el número aúreo es en donde habita la belleza, en la naturaleza.

Ahí van algunos ejemplos:

  • En la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión definida por F_1=1, F_2=1 y por recurrencia F_(n+1)=F_n+F_(n-1), verifica que lim n→∞  F_(n+1)/F_n = φ. (Esta fabulosa propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler!)
  • En la construcción del pentágono regular.
  • En la distribución de pétalos de flores o de las hojas de un tallo
  • En la cantidad de espirales de una piña
  • En la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas
  • Y en un largo etcétera…

Objeto nº 2

El icosaedro, uno de los cinco sólidos platónicos (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro y el mismo). Está compuesto por 20 caras, todas ellas triángulos equiláteros. Y tiene más o menos este aspecto:

 

Ya que han salido los sólidos platónicos, vamos a contaros un cotilleo. Johannes Kepler al que acabamos de mencionar en relación con la sucesión de Fibonacci, trató de relacionar de forma obsesiva los sólidos platónicos con el movimiento de los planetas,

ya que en su época se conocían tan solo 5 planetas, tantos como sólidos platónicos y Kepler pensó que esto no podía ser casualidad. Digamos que este “amor platónico” a punto estuvo de acabar en trastorno matemático-mental. Por suerte para todos desistió a tiempo de esa idea errónea y acabó enunciando las famosas tres Leyes del movimiento de los planetas que llevan su nombre.  También nos dejó una preciosa cita sobre el objeto nº 1:

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa.”
― Johannes Kepler

 

Objeto nº 3

Los anillos de Borromeo (el trío).

¿Es posible enlazar tres anillos de manera que cada pareja de anillos no está enlazada entre sí pero los tres de forma conjunta sean inseparables?
Si el anillo naranja de la siguiente animación no está enlazado ni con el verde ni con el morado y lo mismo le sucede a los otros dos ¿Cómo demonios puede ser que el conjunto completo esté indisolublemente unido?

 

Esta configuración de anillos se conoce con el nombre de enlace o anillos de Borromeo. Este nombre proviene de, ¡oh, sorpresa! De los Borromeo, nobles del norte de Italia que se lo pusieron en el escudo.  Aunque el enlace en sí es mucho más antiguo, aparece en imágenes nórdicas grabadas en piedra del siglo séptimo simbolizando el ‘valknut’ o nudo de la muerte, nombre mucho más molón.
Aunque este objeto se ha considerado precursor de ciertos espectáculos de magia como los antiguos anillos chinos y ha sido profusamente tratado en la matemática recreativa como por ejemplo en Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens de Martin Gardner, se trata de un OBJETO MATEMÁTICO SERIO.
Los anillos de Borromeo pertenecen a la rama de la TOPOLOGÍA, y más concretamente, a la TEORÍA DE NUDOS aunque podemos encontrarlos en otros contextos matemáticos.

 

La hermosísima relación de los Objetos n º 1, nº 2 y nº 3

Y ahora que ya os los hemos presentado a los protagonistas os dejamos disfrutar de la peli, una hermosísima historia de amor.


Y aunque creemos que no es necesaria os dejamos una BREVE EXPLICACIÓN:

Si consideramos tres rectángulos áureos, esto es, rectángulos de lados a y b en proporción áurea (por ejemplo de longitudes 1 y (1+√5)/2. Y los encajamos cortándose en ángulos rectos entre sí como si de tres planos coordenados en el espacio euclídeo tridimensional se tratasen. Y después unimos con segmentos los 12 vértices de los tres rectángulos obtenemos el ICOSAEDRO.

Pero eso no es todo, los perímetros de los rectángulos aúreos están enlazados como los anillos de Borromeo. Cada pareja de anillos no está enlazada entre sí, pero los tres de forma conjunta sean inseparables.

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