Un 22 de junio como hoy, pero de hace casi un siglo (1925), nos dejaba en Gotinga el bueno de Felix Klein.

Con justicia podemos decir que Klein representa el fin de un período de esplendor en matemáticas, “la época heroica de la geometría”. Además de sus importantes contribuciones científicas, Klein enseñó, divulgó e impartió conferencias durante medio siglo con un entusiasmo verdaderamente contagioso sobre la idea de que la geometría podía incluirse dentro de la teoría de grupos.

En efecto, hablamos del “Programa de Erlangen” de Klein. El joven Felix, durante sus visitas a Paris entró en contacto con las ideas de Lagrange sobre el concepto de grupo que ya habían sido desarrolladas y constituían una rama del álgebra en plena ebullición. Un grupo, no es otra cosa que un conjunto con una operación asociativa con un elemento neutro (como el 0 de la suma o el 1 de la multiplicación) y tal que todo elemento tiene un inverso, esto es, para todo g del conjunto hay otro elemento h tal que g operado con h es el elemento neutro.

 

Klein quedó profundamente impresionado por el potencial unificador de este concepto. En su discurso de 1872 con ocasión de su admisión en la facultad de la universidad de Erlangen, que se hizo famoso con el nombre de Erlanger Programm, describe la geometría como el estudio de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo concreto de transformaciones.

De este modo las geometrías euclídea, afín y proyectiva pueden verse una dentro de la otra por las inclusiones sucesivas de los grupos de transformaciones que dejan invariantes sus objetos de estudio: movimientos rígidos; transformaciones afines y proyectividades, dando lugar a una clasificación perfecta y elegante de las geometrías.

Otro de los grandes logros de Klein en el campo de la geometría consistió en dar un modelo hiperbólico simple. Esto merece pararse un poco.

Hace aproximadamente 2300 años, que se dice pronto, Euclides de Alejandría produjo el tratado definitivo de geometría y teoría de números griega en 13 volúmenes, los ELEMENTOS.

El método utilizado en los Elementos de Euclides fue el axiomático. Basándose en ciertos postulados cuya certeza debía estar fuera de toda duda y ciertas reglas de razonamiento, cualquier afirmación matemática era una consecuencia de estos axiomas y reglas. En concreto, la geometría euclídea se basaba en ciertas definiciones como punto, recta, segmento, longitud, círculo, congruencia, etc, y 5 postulados:

  1. Por dos puntos pasa una única recta.
  2. Todo segmento se puede extender utilizando otro segmento.
  3. Dado un punto O y un segmento OA, podemos trazar una circunferencia de centro O y radio OA
  4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
  5. Dada una recta r y un punto P externo a la recta existe una única recta pararlela a r pasando por P.

Pues bien, los 4 primeros axiomas se aceptaron sin dificultad, pero el quinto postulado, …ay! el quinto postulado.

Durante 2000 años los matemáticos más importantes de todos los tiempos (Ptolomeo,  Proclo, Nasir Eddin al-Tusi, Wallis, Saccheri, Alexis Claude Clairaut,…) trataron de demostrar este quinto postulado, como si de un teorema se tratara, a partir de los cuatro primeros postulados…pero fracasaron. Y no fue hasta el siglo XIX que matemáticos como Gauss, Bolyai, Lobachevski, se percataron de que uno podía considerar un axioma diferente como quinto postulado y “hacer” geometría. Por ejemplo, si postulamos que existe un punto P externo a una recta r por el que pasan más de una recta paralela tendríamos la GEOMETRÍA HIPERBÓLICA.

Pero, aunque uno pueda demostrar teoremas utilizando los cuatro primeros postulados de Euclides más el axioma hiperbólico, los matemáticos consideraron al principio esta geometría como un mero artificio de la imaginación.  La geometría euclídea nos la “creemos” porque es la que nos dicta la intuición, pero ¿ES REALMENTE CONSISTENTE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA? Es posible que un día alguien empieza a argumentar con sus axiomas y llegue a una conclusión absurda.

Pues bien, en 1868, Eugenio Beltrami probó el siguiente

TEOREMA METAMATEMÁTICO. Si la geometría euclídea es consistente también lo es la hiperbólica.

Beltrami probó este teorema utilizando geometría diferencial y la pseudoesfera, pero posteriormente Klein lo demostró de una forma más sencilla que comentaremos aquí:

Supongamos que la geometría euclídea del plano es consistente. Definamos un “modelo euclídeo” para la geometría hiperbólica DENTRO DEL PLANO. Tenemos que definir todos los conceptos iniciales en este nuevo mundo tal como: puntos, rectas, ángulos, distancias,…

Los “puntos” de nuestro modelo van a ser todos los puntos del interior de un disco D. las “rectas” serán cuerdas dentro del disco (sin los extremos), la noción de paralelismo es la misma, esto es dos cuerdas son paralelas si no se cortan. Otros conceptos son de más difícil definición: por ejemplo, la distancia entre dos puntos P1 y P2 viene dada por el número

Logaritmo neperiano de ( P2Q1 * P1Q2 / P1Q1 * P2Q2 )

Donde Q1 y Q2 son los puntos de la circunferencia que se obtiene al prolongar el segmento P1P2.

Resulta que podemos probar ahora para estos nuevos objetos “punto”, “segmento”, “recta”, etc. los 4 primero postulados de Euclides utilizando los 5 postulados del plano ambiente en el que viven. Sin embargo, es fácil ver (véase el sol de nuestra ilustración adjunta) que dada una cuerda y un punto P externo a ella hay muchas cuerdas paralelas pasando por P. De este modo tenemos un modelo (el disco de Klein) que satisface los 4 postulados de Euclides más el axioma hiperbólico. Pero si algún día encontráramos una contradicción en este modelo, resulta que estos habían sido probados utilizando los axiomas del plano euclídeo y tendríamos que ¡LA CONTRADICCIÓN DEBERÍA ESTAR EN LA GEOMETRÍA EUCLIDEA!

Felix Klein también hizo contribuciones importantes en la topología algebraica como clarificar el teorema de superficies compactas orientables que dice que todas estas superficies son homeomorfas a esferas con un número de asas pegadas (el género) que la caracteriza. También puso de relieve la complejidad que pueden encerrar las superficies cerradas, incluso de dimensión 2, al introducir en 1882 la BOTELLA DE KLEIN que no tiene aristas, ni interior, ni exterior y una sola cara.

Pero no podemos terminar este texto sin faceta de gran “estadista” de las matemáticas ya que en 1895 fue el fundador de la “Gran Enciclopedia de las matemáticas”  y uno de los defensores de la renovación de la enseñanza de las matemáticas en los estudios secundarios.

Aquí os dejo un enlace enlace a nuestra serie de topología algebraica: Introducción a la topología algebraica en youtube.

También una pequeña animación de la botella de Klein:

¡Y la semana próxima publicaremos un vídeo sobre Ajedrez y geometrías no euclídeas!

¡Hasta pronto!